02k.- Sistemas de Control - Parcial Nro. 2 (Semestre 2025 - II)

  

02l.- Sistemas de Control - Criterio de estabilización de Routh Hurwitz

Ejemplo Nro. 1

Considerando la siguiente ecuación como el denominador de la función de transferencia C(s)/R(s), determine si el sistema es estable utilizando el método de Routh-Hurwitz.

D(s) = s⁵ + 2s⁴ + 4s³ + 6s² + 8s + 12 

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas:

s⁵     1    4   8   

s⁴     2    6   12     (Se pueden simplificar dividiendo todos los valores entre dos)

s³     b1  b2  

s²

s¹

s⁰

las incógnitas vienen dadas por:

b1 = [ (2)(4) - (1)(6) ] / 2 => b1= (8-6) /2 => b1= 1

b2 = [ (2)(8) - (1)(12) ] / 2 => b2= (16-12) /2 => b2= 2

llenamos la tercera fila:

s⁵     1    4   8   

s⁴     2    6   12     

s³     1    2  

s²    c1  c2 

s¹

s⁰

c1 = [ (1)(6) - (2)(2) ] / 1 => c1= (6-4) /1 => c1= 2

c2 = [ (1)(12) - (2)(0) ] / 1 => c2= (12-0) /1 => c2= 12

llenamos la cuarta fila:

s⁵     1    4   8   

s⁴     2    6   12     

s³     1    2  

s²     2   12 

s¹    d1  d2 

s⁰

d1 = [ (2)(2) - (1)(12) ] / 2 => c1= (4-12) /2 => c1= -4

d2 = [ (2)(0) - (1)(0) ] / 2 => d2= (0-0) /2 => d2= 0

llenamos la quinta fila:

s⁵     1    4   8   

s⁴     2    6   12     

s³     1    2  

s²     2   12 

s¹    -4    

s⁰   e1

e1 = [ (-4)(12) - (2)(0) ] / (-4) =>  e1= 12

llenamos la sexta fila:

s⁵     1    4   8   

s⁴     2    6   12     

s³     1    2  

s²     2   12  

s¹    -4    

s⁰   12

Observamos la primera columna del arreglo de Routh-Hurwitz y podemos ver que el signo cambió dos veces de signo, de 2 a -4 y de -4 a 12. Por lo tanto, el sistema es inestable.

Ejemplo Nro. 2

Determine el valor de K de forma que el siguiente sistema sea estable

Encontramos la ecuación de transferencia:

Llamemos E(s) = s (s² + s + 1) (s + 2)

C(s)/R(s) = [K/E(s)]/[1+K/E(s)] => C(s)/R(s) = [K/E(s)]/[(E(s)+K)/E(s)] => 

C(s)/R(s) =K/(E(s)+K) => C(s)/R(s) = K/[(s (s² + s + 1) (s + 2))+K)=> 

C(s)/R(s) = K/(s⁴ + s³ + s² + 2s³ + 2s² + 2s + K) => 

C(s)/R(s) = K/(s⁴ + 3s³ + 3s² + 2s + K) => 

Por lo tanto la ecuación del denominador quedaría:

D(s) = s⁴ + 3s³ + 3s² + 2s + K

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas:

s⁴     1    3   K   

s³     3    2    

s²     b1  b2  

s¹

s⁰

las incógnitas vienen dadas por:

b1= [(3)(3)-(1)(2)]/3 => b1= 7/3

b2= [(K)(3)-(1)(0)]/3 => b1= K

llenamos la tercera fila:

s⁴     1    5   K   

s³     3    2       

s²   7/3   K  

s¹    c1  

s⁰

c1= [(2)(7/3)-(3)(K)]/(7/3) => c1= (14/3 - 3K)/(7/3) => c1= (14 - 9K)/7

llenamos la cuarta fila:

s⁴     1                   5            K   

s³     3                   2                

s²     7/3                 K  

s¹     (14 - 9K)/7                   

s⁰     d1   

d1= [((14 - 9K)/7)(K)-(7/3)(0)]/((14 - 9K)/7) => d1= K

llenamos la quinta fila:

s⁴     1                   5            K   

s³     3                   2                

s²     7/3                 K  

s¹     (14 - 9K)/7                     

s⁰     K   

Para que el sistema sea estable todos los elementos de la primera columna deben ser positivos para que esto suceda, se debe cumplir que:

(14 - 9K)/7>0 y al mismo tiempo K>0, resolvemos la primera inecuación

14-9K>0 => -9K>-14 => 9K<14 => K<1.556

Por lo tanto, para todas las K en el intervalo abierto (0 a 1.556) el sistema es estable. 

Ejemplo Nro. 3: Caso especial 1

Determine la estabilidad de la función de transferencia de lazo cerrado:

C(s)/R(s) = 10/(s⁵ + 2s⁴ + 3s³ + 6s² + 5s + 3)

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas:

s⁵     1    3   5   

s⁴     2    6   3     

s³     b1  b2  

s²

s¹

s⁰

las incógnitas vienen dadas por:

b1 = [(3)(2) - (1)(6)]/2 => b1 = 0

b2 = [(5)(2) - (1)(3)]/2 => b2 = 7/2

Sustituimos los valores

s⁵     1    3   5   

s⁴     2    6   3     

s³     0   7/2  

s²

s¹

s⁰

Nos dio cero en la primera columna, esto en un problema porque las próximas divisiones nos quedarían entre cero. Para que esto no suceda lo que hacemos es sustituir el cero por el valor E (épsilon) que para nuestro caso representa un valor POSITIVO Y MUY PEQUEÑO.

s⁵     1    3   5   

s⁴     2    6   3     

s³     E   7/2  

s²

s¹

s⁰

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

s⁵     1    3   5   

s⁴     2    6   3     

s³     E   7/2  

s²     c1   c2  

s¹

s⁰

c1 = [(6)(E) - (2)(7/2)]/E => c1 = (6E-7)/E

c2 = [(3)(E) - (2)(0)]/E => c2 = 3

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

s⁵            1                 3          5   

s⁴            2                 6          3     

s³            E               7/2  

s²     (6E-7)/E           3  

s¹           d1

s⁰

d1 = [(7/2) ((6E-7)/E) - (E)(3)]/((6E-7)/E) =>

d1 = (-6E²+42E-49) / (12E - 14) => d1 = (6E²-42E+49) / (14 - 12E)

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

s⁵                      1                                                 3          5   

s⁴                      2                                                 6          3     

s³                      E                                                7/2  

s²                (6E-7)/E                                          3  

s¹      (6E²-42E+49) / (14 - 12E)

s⁰                  e1

e1 = [(3) ((6E²-42E+49) / (14 - 12E)) - ((6E-7)/E )(0)]/((6E²-42E+49) / (14 - 12E)) =>

e1 = 3

s⁵                      1                                                 3          5   

s⁴                      2                                                 6          3     

s³                      E                                                7/2  

s²                (6E-7)/E                                          3  

s¹      (6E²-42E+49) / (14 - 12E)

s⁰                  3

Una vez finalizado el arreglo de Routh-Hurwitz, procedemos a determinar el signo de las filas 4 y 5 de la primera columna, recordando que E es un número muy pequeño pero positivo. Para conocer el signo aplicamos el limite cuando E tienda a cero por la derecha.

Lim _E->0+ (6E-7)/E =>Lim _E->0+ -7/E < 0 (Número negativo)

Lim _E->0+ (6E²-42E+49) / (14 - 12E) => Lim _E->0+ 49/14 = 3.5 (Número positivo)

En consecuencia,

s⁵                      1                     3          5   

s⁴                      2                     6          3     

s³                      E                   7/2  

s²                (6E-7)/E<0           3  

s¹                     3.5

s⁰                     3

Si observamos la primera columna, veremos que ocurre dos cambios de signo, por lo tanto siguiendo el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz podemos afirmar que el sistema es inestable.

Ejemplo 4: Caso especial 2

Determine la estabilidad del siguiente sistemas:

C(s)/R(s) = 10/(s⁵ + 7s⁴ + 6s³ + 42s² + 8s + 56)

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas:

s⁵     1    6     8   

s⁴     7    42   56     (En esta fila todos los valores son simplificables entre 7)     

s³     b1  b2  

s²

s¹

s⁰

Aunque en los otros ejercicios no lo hemos hecho, cabe resaltar que para simplificar los cálculos los valores de las filas de la tabla de Routh-Hurwitz pueden ser simplificadas, en este caso la segunda fila la puedo dividir toda por 7, por lo tanto:

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     b1  b2  

s²

s¹

s⁰

las incógnitas vienen dadas por:

b1 = [(1)(6) - (1)(6)]/1 => b1 = 0

b2 = [(1)(8) - (1)(8)]/1 => b2 = 0

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     0   0  

s²

s¹

s⁰

Como tenemos una fila completamente llena de ceros, caemos en el 2do caso especial del criterio de Routh-Hurwitz, en este caso aplicamos el siguiente procedimiento, descrito en tres (3) pasos:

1ro.- Forme un nuevo polinomio usando los coeficientes de la fila inmediatamente arriba de los ceros. El polinomio comenzará con la potencia de s en esa fila y continuará saltando una potencia de s, es decir:

P(s) = s⁴ + 6s² + 8

2do.- A continuación, diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

d(P(s))/ds = 4s³ + 12s

3ro.-Finalmente, la fila con todos los ceros en la tabla de Routh se reemplaza con los coeficientes de la derivada anterior y continúa el procedimiento normal en la tabla.

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     4   12                              (Esta fila es simplificable entre 4)  

s²    c1   c2  

s¹

s⁰

Nuevamente simplificamos la fila 3 dividiendo todo entre 4 y obtenemos las siguientes incógnitas:

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     1    3                               

s²    c1   c2  

s¹

s⁰

c1 = [(6)(1) - (1)(3)]/1 => c1 = 3

c2 = [(8)(1) - (1)(0)]/1 => c2 = 8

En consecuencia

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     1    3                               

s²     3    8  

s¹     d1 

s⁰

Calculamos d1,

d1 = [(3)(3) - (1)(8)]/3 => d1 = 1/3

En consecuencia

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     1    3                               

s²     3    8  

s¹    1/3 

s⁰    e1

Calculamos e1,

e1 = [(8)(1/3) - (3)(0)]/(1/3) => e1 = 8

s⁵     1    6     8   

s⁴     1    6     8       

s³     1    3                               

s²     3    8  

s¹    1/3 

s⁰    8

Si observamos la primera columna, veremos que nunca ocurre un cambio de signo, por lo tanto siguiendo el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz podemos afirmar que el sistema es estable.

Éxito!!!!!